(1)\(a^2-3a+b^2-3b=(a-\frac{3}{2})^2+(b-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{2}\)
両辺4倍すると\((2a-3)^2+(2b-3)^2=18\)とすっきりする。
\(2a-3=x\),\(2b-3=y\)とおくと
\(x^2+y^2=18\)となる。
a,bは整数なのでx,yは整数になる。
先ほどの式からx,yを探すと
\(x=y=\pm3\)がでてくる。
そこからa,bは0か3をとる。
よって組み合わせは4個、最小値0、最大値3
(2)(i)同様に平方完成:\((a-\frac{3}{2})^2+(b-\frac{3}{2})^2+(c-\frac{3}{2})^2=\frac{27}{4}\)…①
c=-1のとき
①より\((a-\frac{3}{2})^2+(b-\frac{3}{2})^2=\frac{1}{2}\)
\(a-\frac{3}{2}=s,b-\frac{3}{2}=t\)とおくと
\(s^2+t^2=\frac{1}{2}\)
\(s=t=\pm \frac{1}{2}\)となる。
よってa,bは1か2をとる。よってc=-1のとき4個
(2)(ii)①で\(\lvert a-\frac{3}{2}\lvert \le \sqrt \frac{27}{4}= \frac{3\sqrt3}{2}\fallingdotseq \frac{5}{2}\)これはaもbもcも同様
よって\(-1\le a\le5,-1\le b\le5,-1\le c\le5\)
①を\((a-\frac{3}{2})^2+(b-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{2}+(3c-c^2)\)に変形する。
左辺は必ず正になるので、右辺も正になる。
c=0 右辺は\(\frac{9}{2}\)
…
c=4 右辺は\(\frac{9}{2}+12-16=\frac{1}{2}\)
c=5 右辺は\(\frac{9}{2}+15-25=-\frac{1}{2}\)
c=5のときは右辺が負になるので成り立たない
c=-1,0,1,2,3,4でcは6個
次は格子点の数を数える。
c=-1,4のとき\((a-\frac{3}{2})^2+(b-\frac{3}{2})^2=(\sqrt \frac{1}{2})^2\) このときは4個
c=0,3のとき\((a-\frac{3}{2})^2+(b-\frac{3}{2})^2=\frac{3}{2})^2\) このときも4個
c=1のとき\((a-\frac{3}{2})^2+(b-\frac{3}{2})^2=(\sqrt \frac{13}{2})^2\) このときは8個
c=2のとき\((a-\frac{3}{2})^2+(b-\frac{3}{2})^2=(\sqrt \frac{17}{2})^2\) このときは8個
よってa,bの数は\(4\times2+4\times2+8+8=32\)なので32個
(iii)(ii)より、c=-1～4であることが分かった
c=-1のとき、(i)よりa=b=1,2をとる
t=a+b+cでa=b=1,2かつc=-1でできるtはt=1,2,3
c=0のとき、\((a-\frac{3}{2})^2+(b-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{2}\)
a=b=0,3をとる
よってt=0,3,6
…(これをc=4まで繰り返す）
まとめると
c=-1のときt=1,2,3
c=0のときt=0,3,6
c=1のときt=1,2,6,7
c=2のときt=1,4,6,9
c=3のときt=3,6,9
c=4のときt=6,7,8
よってtは0,1,2,3,4,6,7,8,9の9個なので最小値が0,最大値が9
(iv)\(a^2+b^2+c^2=3(a+b+c)\)
\(t^2-2(ab+bc+ac)=3t\)
\(ab+bc+ac=k\)とする。
\(t^2-3t-2k=0\)
\((t-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}-2k=0\)(kは整数)
\(0\le t\le 9\)(tは整数)なので
t=9のときk=27
t=1のときk=-1
最小値は-1,最大値27
コメント