近畿大学の公募推薦の数学大問Ⅱを徹底解説 2025年11/16(情・生物理工・工・法・経営・建築・短期)１日目

博士

関数の問題が出てきたらまずはグラフを作成しよう‼
（場合分けなどしながら）

(1)\(x\ge 2\),\(x\le 0\)のとき
\(f(x)=-x^2+2x+4\)
\(=(x-1)^2+3\)
よって頂点は(1,3)

\(0\lt x\lt 2\)のとき
\(f(x)=-x^2+2x+4\)
\(=-(x-1)^2+5\)
よって頂点は(1,5)

(2)g(x)はｋによってグラフが変化する
線形計画法で求めていくと
k=2が出てくる

(3)\(k\gt 2\)のときしか共有点が2つ以上にならない
k=4のとき、ちょうど共有点が3つ
だから\(2\gt k\gt 4\)のとき共有点が2つ
これで答えの一つが求まった
つぎはｋが4より大きいときに共有点が２つになるときはいつなのか考える
k=4以外に共有点がちょうど3つになるには、\(0\gt x\gt 2\)の間でちょうど一つ接する必要がある。
g'(x)=-1
f'(x)=-2x+2
よって-1=-2x+2　※１
\(x=\frac{3}{2}\)
これより\((\frac{3}{2},\frac{19}{4})\)で接することがわかる。
計算すると\(k=\frac{17}{4}\)のときg(x)が\((\frac{3}{2},\frac{19}{4})\)を通る。
よって\(\frac{17}{4}\lt k\)

※１

博士

接するということは
f(x)=g(x),f'(x)=g'(x)の二つを満たす必要があるぞい

(4)(i)(3)で示した通り、\(0\gt x\gt 2\)の範囲で接する場合、\(k=\frac{17}{4}\)
接点以外の交点が\(x\lt 0\)と\(2\lt x\)で場合分けをする
\(x\lt 0\)のとき、
\(f(x)=x^2-2x+4\),g(x)=-x+2+\(\frac{17}{4}\)
交点のｘ座標は\(x=\frac{-1\pm \sqrt10}{2}\)
\(x\lt 0\)より\(x=\frac{-1-\sqrt10}{2}\)
これが答えの一つ目

\(2\lt x\)のとき、
\(f(x)=x^2-2x+4\),g(x)=x-2+\(\frac{17}{4}\)
交点のｘ座標は\(x=\frac{3\pm \sqrt2}{2}\)
\(2\lt x\)より\(x=\frac{3\pm \sqrt2}{2}\)

(4)(ii)\(\frac{-1-\sqrt10}{2}\lt x\lt0\)と\(0\lt x\lt \frac{3\pm \sqrt2}{2}\)で分けて考えてみよう
\(\int_\frac{-1-\sqrt10}{2}^0 g(x)-f(x)dx+\int_0^\frac{3\pm \sqrt2}{2} g(x)-f(x)dx\)
これを計算すると答えが出る