I(1)(i)余りを\(Ax+1\)とする。 ※1
\((x+1)^{2025}=P(x)x^2+Ax+1\)
と書ける。
両辺を\(ｘ\)で微分すると
\(2025(x+1)^{2024}=2xP'(x)+A\)
\(x=0\)を代入すると\(A=2025\)
余りを\(Ax+1\)と定めていたことより答えがわかる。
(ii)余りを\(Cx-D\)とする。※1
\(x^{2025}=(x-1)^2Q(x)+Cx-D\)
と書ける。
\(x=1\)を代入すると
\(1=C-D\)
両辺を\(ｘ\)で微分すると
\(2025x^{2024}=2(x-1)Q'(x)+C\)
なのでC=2025
よってD=2024
※１
博士～
なんで余りを
\(Ax+1\)や\(Cx-D\)
とおくことができるの？
ほっほっほ～
それは、割る数の次数がかかわってくるぞ。
今回では2乗の式で割っているので余りは\(x\)の1次式もしくは\(x\)がない数字だけになる。
もし数字だけでも\(x\)の係数が０になるので余りを1次式で仮定しても無問題‼
詳しくは剰余の定理で検索じゃぞ
(2)三角関数を計算する際、0°と360°は同じ値になるので
\(2025=(360\times5)+225\)であり
\(225=180+45\)なので\(θ=(180+45)°\)になる。
それぞれに加法定理を使うと
\(-\frac{1}{\sqrt 2}\times-\frac{1}{\sqrt 2}+1=\frac{3}{2}\)
次の式も先ほどの加法定理を使うと
\((-\sqrt 2+(-\frac{1}{\sqrt 2})+1)^2\)
\(=(1-\frac{3\sqrt 2}{2})^2\)
\(=\frac{11}{2}-3\sqrt 2\)
(3)∠Cをθとする。
△ABDより\(tan2θ=\frac{AD}{BD}=AD\)…①
△ACDより\(tanθ=\frac{AD}{DC}=\frac{AD}{7}\)…②
①②よりADが等しいので\(tan2θ=7tanθ\)
加法定理より\(tan2θ=\frac{2tanθ}{1-tan^2θ}\)なので\(\frac{2tanθ}{1-tan^2θ}=7tanθ\)
よって\(2=7(1-tan^2θ)\)
\(tanθ=\sqrt \frac{5}{7}\)
②より\(AD=7tanθ=\sqrt 35\) (①からでもできるよ)
\(1+tan^2θ=\frac{1}{cos^2θ}\)…③
\(cosθ=\frac{DC}{AC}\)…④
③より\(\frac{1}{cos^2θ}=1+\frac{5}{7}=\frac{12}{7}\)
よって\(cosθ=\pm \sqrt \frac{7}{12}\)
④より\(\pm \sqrt \frac{7}{12}=\frac{7}{AC}\)
よって\(AC=\pm 2\sqrt 21\)
長さにマイナスは存在しないので\(AC=2\sqrt 21\)
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