じゃんけんのルールを使ったカードゲームの確率の問題です。「箱に戻す場合」と「戻さない場合」で、2回目の状況がどう変わるかを整理しましょう。
(1)(i)
A,Bの取り出し方は\(3\times3=9\)通り
引き分け(同じ種類)は\(3\)通り
勝負が決まるのは\(9-3=6\)通り
よって確率は\(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\)
→ \(\frac{\text{ア}}{\text{イ}}=\frac{2}{3}\)
(1)(ii)
1回目が引き分けになる確率は\(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)
【箱に戻す場合】
2回目も1回目と同じ状況なので、決まる確率は\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{9}\)
→ \(\frac{\text{ウ}}{\text{エ}}=\frac{2}{9}\)
【箱に戻さない場合】
引き分けで同じ種類を1枚ずつ取り出したので、各箱は残り2枚(同じ2種類)
取り出し方は\(2\times2=4\)通り
このうち引き分けは\(2\)通りなので、決まるのは\(2\)通り
決まる確率は\(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\)
→ \(\frac{\text{オ}}{\text{カ}}=\frac{1}{6}\)
(2)(i)
6枚から2枚を同時に取り出すので\(₆\mathrm{C}₂=15\)通り
引き分けは同じ種類の2枚を取り出す場合で、3種類あるので\(3\)通り
引き分けの確率は\(\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\)
決まる確率は\(1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
→ \(\frac{\text{キ}}{\text{ク}}=\frac{4}{5}\)
(2)(ii)
1回目が引き分けになる確率は\(\frac{1}{5}\)
【箱に戻す場合】
2回目も同じ状況なので、決まる確率は\(\frac{4}{5}\)
\(\frac{1}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{4}{25}\)
→ \(\frac{\text{ケ}}{\text{コサ}}=\frac{4}{25}\)
【箱に戻さない場合】
引き分けで同じ種類の2枚を取り出したので、残りは4枚(他の2種類が2枚ずつ)
4枚から2枚を取り出すので\(₄\mathrm{C}₂=6\)通り
このうち同じ種類は\(2\)通りなので、決まるのは\(6-2=4\)通り
決まる確率は\(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{15}\)
→ \(\frac{\text{シ}}{\text{スセ}}=\frac{2}{15}\)
(3)
\(3n\)枚から2枚を同時に取り出すので\(₃ₙ\mathrm{C}₂=\frac{3n(3n-1)}{2}\)通り
引き分けは、3種類のどれかから同じ種類の2枚を選ぶ場合なので
\(3\times ₙ\mathrm{C}₂=\frac{3n(n-1)}{2}\)通り
引き分けの確率は\(\frac{3n(n-1)}{3n(3n-1)}=\frac{n-1}{3n-1}\)
よって決まる確率は\(1-\frac{n-1}{3n-1}=\frac{2n}{3n-1}\)
→ \(\text{ソ}=2\),\(\text{タ}=3\)
確認:\(n=1\)のとき\(\frac{2}{2}=1\)(3枚すべて違う種類なので必ず決まる)で、(1)の流れと一致します。
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