指数関数の最大・最小の問題です。\(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^x\)を1つの文字でおき換えて、2次関数や相加・相乗平均に帰着させます。
(1)
\(s=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^x\)とおくと\(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2x}=s^2\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}=2^{-\frac{1}{2}}\lt1\)なので、\(s\)は\(x\)について単調に減少する。
\(x=-4\)のとき\(s=\left(2^{-\frac{1}{2}}\right)^{-4}=2^2=4\)
\(x=0\)のとき\(s=1\)
よって\(-4\le x\le0\)のとき\(1\le s\le4\)
\(y=s^2-4s+7=(s-2)^2+3\)
\(s=4\)のとき最大で\(y=(4-2)^2+3=7\)
このとき\(x=-4\)
→ \(\text{アイ}=-4\),\(\text{ウ}=7\)
\(s=2\)のとき最小で\(y=3\)
\(2^{-\frac{x}{2}}=2\)より\(-\frac{x}{2}=1\)なので\(x=-2\)
→ \(\text{エオ}=-2\),\(\text{カ}=3\)
(2)(i)
\(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2x}+y=s^2+y=2s^2-4s+7=2(s-1)^2+5\)
\(1\le s\le4\)より、\(s=4\)のとき最大で\(2\times9+5=23\)
\(s=1\)のとき最小で\(5\)
→ \(\text{キク}=23\),\(\text{ケ}=5\)
最小のとき\(s=1\)なので\(x=0\)
→ \(\text{コ}=0\)
(2)(ii)
\(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^x+y=s+y=s^2-3s+7=\left(s-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\)
\(1\le s\le4\)で、軸\(s=\frac{3}{2}\)から遠いのは\(s=4\)の側なので、最大は\(s=4\)のとき
最大値は\(16-12+7=11\)
→ \(\text{サシ}=11\)
最小は\(s=\frac{3}{2}\)のときで\(\frac{19}{4}\)
→ \(\frac{\text{スセ}}{\text{ソ}}=\frac{19}{4}\)
最小のとき\(2^{-\frac{x}{2}}=\frac{3}{2}\)
\(-\frac{x}{2}=\log₂\frac{3}{2}=\log₂3-1\)
よって\(x=2(1-\log₂3)\)
→ \(\text{タ}=2\),\(\text{チ}=3\)
(2)(iii)
\(\frac{y-1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^x+2}=\frac{s^2-4s+6}{s+2}\)
\(u=s+2\)とおくと\(3\le u\le6\)で\(s=u-2\)
\(s^2-4s+6=(u-2)^2-4(u-2)+6=u^2-8u+18\)
よって\(\frac{y-1}{s+2}=\frac{u^2-8u+18}{u}=u+\frac{18}{u}-8\)
(最小値)
\(u\gt0\)なので相加・相乗平均の関係より\(u+\frac{18}{u}\ge2\sqrt{u\times\frac{18}{u}}=6\sqrt{2}\)
等号は\(u=\frac{18}{u}\)すなわち\(u=3\sqrt{2}\)のときで、これは\(3\le u\le6\)に含まれる。
最小値は\(6\sqrt{2}-8\)
→ \(\text{ツ}=6\),\(\text{テ}=2\),\(\text{ト}=8\)
(最大値)
\(u+\frac{18}{u}-8\)は、\(u=\sqrt{18}\)の前後で減少から増加に変わるので、最大は区間の両端
\(u=3\)のとき\(3+6-8=1\)
\(u=6\)のとき\(6+3-8=1\)
最大値は\(1\)
→ \(\text{ナ}=1\)
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