立方体の切り口の問題です。点\(\mathrm{B}\)を原点とする座標を設定して、平面の方程式から切り口の形を決め、周の長さと面積を求めます。
(座標の設定)
点\(\mathrm{B}\)を原点とし、\(\mathrm{BA}\),\(\mathrm{BC}\),\(\mathrm{BF}\)の向きを\(x\)軸,\(y\)軸,\(z\)軸の正の向きとする。
\(\mathrm{A}(1,0,0)\),\(\mathrm{C}(0,1,0)\),\(\mathrm{F}(0,0,1)\),\(\mathrm{D}(1,1,0)\),\(\mathrm{E}(1,0,1)\),\(\mathrm{G}(0,1,1)\),\(\mathrm{H}(1,1,1)\)
\(\mathrm{P}(t,0,0)\),\(\mathrm{Q}(0,t,0)\),\(\mathrm{R}(0,0,t)\)
\(\mathrm{S}\)は辺\(\mathrm{AE}\)上で\(\mathrm{ES}=t\)なので\(\mathrm{S}(1,0,1-t)\)
(1)
3点\(\mathrm{P}\),\(\mathrm{Q}\),\(\mathrm{R}\)を含む平面は\(x+y+z=t\)
切り口は\(\triangle\mathrm{PQR}\)で、\(\mathrm{PQ}=\mathrm{QR}=\mathrm{RP}=\sqrt{2}t\)の正三角形
周の長さは\(3\sqrt{2}t\)
→ \(\text{ア}=3\),\(\text{イ}=2\)
面積は\(\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2}t)^2=\frac{\sqrt{3}}{2}t^2\)
→ \(\text{ウ}=3\),\(\text{エ}=2\)
(2)
\(t=\frac{1}{3}\)より\(\mathrm{P}\left(\frac{1}{3},0,0\right)\),\(\mathrm{Q}\left(0,\frac{1}{3},0\right)\)
平面を\(ax+by+cz=1\)とおくと
\(\mathrm{P}\)より\(\frac{a}{3}=1\)なので\(a=3\)
\(\mathrm{Q}\)より\(\frac{b}{3}=1\)なので\(b=3\)
\(\mathrm{E}\)より\(a+c=1\)なので\(c=-2\)
よって平面は\(3x+3y-2z=1\)
立方体の各頂点を\(3x+3y-2z-1\)に代入すると
\(\mathrm{A},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{H}\)は正,\(\mathrm{B},\mathrm{F}\)は負,\(\mathrm{E},\mathrm{G}\)は\(0\)
つまり\(\mathrm{G}\)も平面上にあり、切り口は四角形\(\mathrm{PQGE}\)になる。
\(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},0\right)\),\(\overrightarrow{\mathrm{EG}}=(-1,1,0)=3\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\)なので\(\mathrm{PQ}\parallel\mathrm{EG}\)の台形
\(\mathrm{PQ}=\frac{\sqrt{2}}{3}\),\(\mathrm{EG}=\sqrt{2}\)
\(\mathrm{PE}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2+1^2}=\frac{\sqrt{13}}{3}\),\(\mathrm{QG}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2+1^2}=\frac{\sqrt{13}}{3}\)
周の長さは\(\frac{\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{13}}{3}=\frac{2\sqrt{13}+4\sqrt{2}}{3}\)
→ \(\text{オ}=2\),\(\text{カキ}=13\),\(\text{ク}=4\),\(\text{ケ}=2\),\(\text{コ}=3\)
台形の高さは、底辺の差の半分\(\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{3}\)を使って
\(\sqrt{\frac{13}{9}-\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{11}}{3}\)
面積は\(\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2}\right)\times\frac{\sqrt{11}}{3}=\frac{2\sqrt{22}}{9}\)
→ \(\text{サ}=2\),\(\text{シス}=22\),\(\text{セ}=9\)
(3)
平面を\(ax+by+cz=d\)とおき、\(\mathrm{P}(t,0,0)\),\(\mathrm{Q}(0,t,0)\),\(\mathrm{S}(1,0,1-t)\)を通るようにする。
\(d=t\)とすると、\(\mathrm{P}\)より\(a=1\),\(\mathrm{Q}\)より\(b=1\),\(\mathrm{S}\)より\(1+c(1-t)=t\)なので\(c=-1\)
よって平面は\(x+y-z=t\)
各頂点を\(x+y-z-t\)に代入すると(\(0\lt t\lt1\)より)
\(\mathrm{A},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{H}\)は正,\(\mathrm{B},\mathrm{F},\mathrm{E},\mathrm{G}\)は負
平面が切る辺は\(\mathrm{AB},\mathrm{AE},\mathrm{CB},\mathrm{CG},\mathrm{HE},\mathrm{HG}\)の6本で、切り口は六角形になる。
その6点は
\(\mathrm{P}(t,0,0)\),\(\mathrm{Q}(0,t,0)\),\(\mathrm{T}(0,1,1-t)\),\(\mathrm{V}(t,1,1)\),\(\mathrm{U}(1,t,1)\),\(\mathrm{S}(1,0,1-t)\)
順に\(\mathrm{P}\to\mathrm{Q}\to\mathrm{T}\to\mathrm{V}\to\mathrm{U}\to\mathrm{S}\)と結ぶと
\(\mathrm{PQ}=\mathrm{TV}=\mathrm{US}=\sqrt{2}t\)
\(\mathrm{QT}=\mathrm{VU}=\mathrm{SP}=\sqrt{2}(1-t)\)
周の長さは\(3\sqrt{2}t+3\sqrt{2}(1-t)=3\sqrt{2}\)
→ \(\text{ソ}=3\),\(\text{タ}=2\)
(3)の面積
切り口の面積は、\(xy\)平面への正射影を使って求める。
平面\(x+y-z=t\)の法線ベクトルは\((1,1,-1)\)で、\(z\)軸方向とのなす角の余弦は\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
よって(射影した面積)\(=\)(切り口の面積)\(\times\frac{1}{\sqrt{3}}\)
射影した六角形は、1辺\(1\)の正方形から、
角\((0,0)\)の側の直角二等辺三角形(面積\(\frac{t^2}{2}\))と
角\((1,1)\)の側の直角二等辺三角形(面積\(\frac{(1-t)^2}{2}\))を除いたもの
射影した面積は\(1-\frac{t^2}{2}-\frac{(1-t)^2}{2}=\frac{1}{2}+t-t^2\)
よって切り口の面積は\(\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}+t-t^2\right)=-\sqrt{3}t^2+\sqrt{3}t+\frac{\sqrt{3}}{2}\)
→ \(\text{チ}=3\),\(\text{ツ}=3\),\(\text{テ}=3\),\(\text{ト}=2\)
\(\frac{1}{2}+t-t^2=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)より、\(t=\frac{1}{2}\)のとき最大
最大値は\(\sqrt{3}\times\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
→ \(\text{ナ}=3\),\(\text{ニ}=3\),\(\text{ヌ}=4\)
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