数列・対数・三角関数の小問集合です。(1)は階差数列から一般項を求める問題、(2)は対数の大小比較、(3)は\(\sin\theta+\cos\theta\)の対称式の問題です。
(1)
階差数列を\(bₙ=aₙ₊₁-aₙ\)とおくと
\(b₁=5-2=3\),\(b₂=10-5=5\)
\(\{bₙ\}\)は等差数列なので公差は\(2\)
よって\(bₙ=3+2(n-1)=2n+1\)
\(n\ge2\)のとき
\(aₙ=a₁+b₁+b₂+\cdots+bₙ₋₁=2+\{3+5+\cdots+(2n-1)\}\)
\(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\)なので\(3+5+\cdots+(2n-1)=n^2-1\)
よって\(aₙ=2+n^2-1=n^2+1\)
これは\(n=1\)でも成り立つ。
\(a₄₅=45^2+1=2026\)
→ \(\text{アイウエ}=2026\)
\(aₖ₊₃=aₖ+111\)に代入すると
\((k+3)^2+1=k^2+1+111\)
\(6k+9=111\)
\(k=17\)
→ \(\text{オカ}=17\)
\(aₖ₊₃+aₖ=1111\)に代入すると
\((k+3)^2+1+k^2+1=1111\)
\(2k^2+6k+11=1111\)
\(k^2+3k-550=0\)
\((k-22)(k+25)=0\)
\(k\)は自然数なので\(k=22\)
→ \(\text{キク}=22\)
(2)
\(L=\log₂3\)とおくと\(1\lt L\lt2\)
\(\log₂\sqrt{6}=\frac{1}{2}\log₂6=\frac{1+L}{2}\)
\(\log₄12=\frac{\log₂12}{\log₂4}=\frac{2+L}{2}\)
\(1\lt L\lt2\)より
\(\frac{1+L}{2}\lt\frac{3}{2}\lt\frac{2+L}{2}\)
よって\(a=\log₂\sqrt{6}\),\(b=\frac{3}{2}\),\(c=\log₄12\)
\(c-a=\frac{2+L}{2}-\frac{1+L}{2}=\frac{1}{2}\)
→ \(\frac{\text{ケ}}{\text{コ}}=\frac{1}{2}\)
\(a+b+c=\frac{1+L}{2}+\frac{3}{2}+\frac{2+L}{2}=3+L\)
\(2^{a+b+c}=2^3\times2^{L}=8\times3=24\)
→ \(\text{サシ}=24\)
\(c-\log₂\sqrt{3}=\frac{2+L}{2}-\frac{L}{2}=1\)
→ \(\text{ス}=1\)
\(a+b-c+2=-(c-a)+b+2=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+2=3\)
→ \(\text{セ}=3\)
(3)
\(\sin\theta+\cos\theta=\frac{2}{3}\)の両辺を2乗すると
\(1+2\sin\theta\cos\theta=\frac{4}{9}\)
\(\sin\theta\cos\theta=-\frac{5}{18}\)
→ \(\frac{\text{ソ}}{\text{タチ}}=\frac{5}{18}\)(マイナスは問題文に印刷済み)
\((\sin\theta-\cos\theta)^2=1-2\sin\theta\cos\theta=1+\frac{5}{9}=\frac{14}{9}\)
\(\frac{\pi}{2}\lt\theta\lt\pi\)より\(\sin\theta\gt0\),\(\cos\theta\lt0\)なので\(\sin\theta-\cos\theta\gt0\)
よって\(\sin\theta-\cos\theta=\frac{\sqrt{14}}{3}\)
→ \(\frac{\sqrt{\text{ツテ}}}{\text{ト}}=\frac{\sqrt{14}}{3}\)
\(\sin^3\theta+\cos^3\theta=(\sin\theta+\cos\theta)(1-\sin\theta\cos\theta)\)
\(=\frac{2}{3}\left(1+\frac{5}{18}\right)=\frac{2}{3}\times\frac{23}{18}=\frac{23}{27}\)
→ \(\frac{\text{ナニ}}{\text{ヌネ}}=\frac{23}{27}\)
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